Makalah Statistika Distribusi Probabilitas

MAKALAH STATISTIKA

DISTRIBUSI PROBABILITAS

NAMA:

HAFIS DANI WICAKSONO

KELAS:

2KB06

NPM:

24114674

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT

DISTRIBUSI GEOMETRIK

Dalam teori probabilitas dan statistik , distribusi geometrik adalah salah satu dari dua distribusi probabilitas diskrit :
Distribusi probabilitas dari X jumlah percobaan Bernoulli yang diperlukan untuk mendapatkan satu kesuksesan, didukung pada himpunan {1, 2, 3, ...}
Distribusi probabilitas dari jumlah Y = X - 1 dari kegagalan sebelum keberhasilan pertama, didukung pada himpunan {0, 1, 2, 3, ... }

Yang satu ini sebut sebagai "" distribusi geometrik adalah masalah konvensi dan kenyamanan.

Kedua distribusi geometris yang berbeda tidak harus bingung dengan satu sama lain. Seringkali, namabergeser distribusi geometrik diadopsi untuk mantan satu (distribusi jumlah X), namun, untuk menghindari ambiguitas, itu dianggap bijaksana untuk menunjukkan yang dimaksudkan, dengan menyebutkan dukungan secara eksplisit.

Ini adalah probabilitas bahwa kejadian pertama keberhasilan memerlukan k jumlah percobaan independen, masing-masing dengan probabilitas keberhasilan p. Jika probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan adalah p, maka probabilitas bahwa k th trial (uji coba dari k) adalah keberhasilan pertama adalah

untuk k = 1, 2, 3, ....

Bentuk atas distribusi geometrik yang digunakan untuk memodelkan jumlah percobaan sampai keberhasilan pertama. Sebaliknya, bentuk berikut distribusi geometrik digunakan untuk memodelkan jumlah kegagalan sampai keberhasilan pertama:

untuk k = 0, 1, 2, 3, ....

Dalam kedua kasus, urutan probabilitas adalah barisan geometri .

Misalnya, seorang biasa die dilemparkan berulang kali sampai pertama kalinya "1" muncul. Distribusi probabilitas dari jumlah kali itu dilemparkan didukung pada himpunan tak terhingga {1, 2, 3, ... } Dan distribusi geometris dengan p = 1/6.

Moments dan cumulants [ sunting ]

The nilai yang diharapkan dari geometris didistribusikan variabel acak X adalah 1 / p dan varians adalah (1 - p) /p 2:

Demikian pula, nilai yang diharapkan dari geometris didistribusikan random variabel Y (Y di mana sesuai dengan PMF tercantum di kolom kanan) adalah (1 - p) / p, dan varians adalah (1 - p) / p 2:

Biarkan μ = (1 - p) / p menjadi nilai yang diharapkan dari Y. Kemudian cumulants dari distribusi probabilitas dari Y memenuhi rekursi

Garis bukti: Itu nilai yang diharapkan adalah (1 - p) / p dapat ditunjukkan dengan cara berikut. Mari Y menjadi seperti di atas. Kemudian

(The interchange dari penjumlahan dan diferensiasi dibenarkan oleh fakta bahwa konvergen deret pangkat konvergen seragam pada kompak himpunan bagian dari himpunan titik-titik di mana mereka berkumpul.)
Estimasi Parameter [ sunting ]

Untuk kedua varian dari distribusi geometrik, parameter p dapat diperkirakan dengan menyamakan nilai yang diharapkan dengan rata-rata sampel . Ini adalah metode momen , yang dalam hal ini terjadi untuk menghasilkan kemungkinan maksimum estimasi p. [ rujukan? ]

Secara khusus, untuk varian pertama membiarkan k = k 1, ..., k n menjadi sampel di mana k i ≥ 1 untuk i = 1, ..., n. Kemudian p dapat diperkirakan sebagai

Dalam inferensi Bayesian , yang distribusi Beta adalah konjugat sebelum distribusi untuk parameter p. Jika parameter ini diberikan Beta (α, β) sebelumnya , maka distribusi posterior adalah[ rujukan? ]

Posterior berarti E [p] pendekatan estimasi maksimum likelihood sebagai α dan β mendekati nol.

Dalam kasus alternatif, mari k 1, ..., k n menjadi sampel di mana k i ≥ 0 untuk i = 1, ..., n. Kemudian p dapat diperkirakan sebagai

Distribusi posterior p diberi Beta (α, β) sebelumnya adalah [ rujukan? ]

Sekali lagi posterior mean E [p] pendekatan estimasi maksimum likelihood sebagai α dan β mendekati nol.
Properti Lainnya [ sunting ]
Para fungsi probabilitas menghasilkan X dan Y masing-masing adalah,
Seperti analog terus-menerus (pada distribusi eksponensial ), distribusi geometrik adalah memoryless . Itu berarti bahwa jika Anda berniat untuk mengulangi percobaan sampai keberhasilan pertama, kemudian, mengingat bahwa keberhasilan pertama belum terjadi, distribusi probabilitas bersyarat dari jumlah percobaan tambahan tidak tergantung pada berapa banyak kegagalan telah diamati. Yang mati melempar koin atau satu lemparan tidak memiliki "memori" dari kegagalan ini. Distribusi geometrik adalah satu-satunya distribusi diskrit memoryless.
Di antara semua distribusi probabilitas diskrit didukung pada {1, 2, 3, ... } Dengan yang diberikan diharapkan nilai μ, distribusi X geometrik dengan parameter p = 1 / μ adalah satu denganentropi terbesar . [ rujukan? ]
Distribusi geometrik dari jumlah Y kegagalan sebelum keberhasilan pertama adalah tak terhingga dibagi , yaitu, untuk setiap bilangan bulat positif n, terdapat variabel acak independen terdistribusi secara identik Y 1, ..., Y n yang jumlahnya memiliki distribusi yang sama bahwa Y memiliki . Ini tidak akan geometris didistribusikan kecuali n = 1, mereka mengikuti distribusi binomial negatif .
Angka desimal yang didistribusikan secara geometris random variabel Y adalah urutan independen variabel acak (dan tidak terdistribusi secara identik) [. rujukan? ] Sebagai contoh, ratusan digit D memiliki distribusi probabilitas ini:di mana q = 1 - p, dan juga untuk lainnya digit, dan, lebih umum, juga untuk sistem angka dengan basis selain 10. Ketika dasar adalah 2, hal ini menunjukkan bahwa variabel acak yang terdistribusi secara geometris dapat ditulis sebagai jumlah variabel acak independen yang probabilitas distribusi adalah yg tak dpt dibagi .
Golomb coding adalah optimal kode awalan [ klarifikasi diperlukan ] untuk distribusi diskrit geometris. [ rujukan? ]
Distribusi terkait [ sunting ]
The geometris distribusi Y adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif , dengan r = 1. Secara umum, jika Y 1, ..., Y r adalah independen variabel terdistribusi secara geometris dengan parameter p, maka jumlah tersebutmengikuti distribusi binomial negatif dengan parameter r dan p. [1]
Jika Y 1, ..., Y r adalah variabel geometris didistribusikan independen (dengan sukses mungkin berbeda parameter p m), maka mereka minimumjuga geometris didistribusikan, dengan parameter [ rujukan? ]
Misalkan 0 <r <1, dan untuk k = 1, 2, 3, ... variabel acak X k memiliki distribusi Poisson dengan yang diharapkan nilai r k / k. Kemudianmemiliki distribusi geometrik mengambil nilai dalam himpunan {0, 1, 2, ...}, dengan nilai yang diharapkan r / (1 ​​- r). [ rujukan? ]
The distribusi eksponensial adalah analog kontinu dari distribusi geometrik. Jika X adalah variabel random eksponensial dengan parameter λ, makadimana adalah lantai (atau bilangan bulat terbesar) fungsi, adalah variabel acak yang terdistribusi secara geometris dengan parameter p = 1 - e - λ (sehingga λ =-ln (1 - p) [2] ) dan mengambil nilai dalam himpunan {0, 1 , 2, ...}. Hal ini dapat digunakan untuk menghasilkan angka pseudorandom didistribusikan secara geometris dengan terlebih dahulu menghasilkan didistribusikan secara eksponensial nomor pseudorandom dari seragam nomor pseudorandom generator yang : kemudian secara geometris didistribusikan dengan parameter , Jika terdistribusi secara seragam dalam [0,1].

DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU

1.     DISTRIBUSI PROBABILITAS EKSPONENSIAL

a.       Pengertian distribusi eksponensial

Salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam statistika,khususnya proses stokastik,adalah distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial adalah salah satu kasus khusus dari distribusi gamma. Peubah acak kontinu berdistribusi eksponensial dengan para meter l,bila fungsi padatnya:
dimana juga didapat:dengan b > 0
Sehingga distribusi eksponensial juga disebut dengan distribusi gama dengan a = 1. Distribusi eksponensial juga merupakan suatu distribusi yang berguna untuk mencari selisih waktu yang terjadi dalam suatu peluang tertentu.Dalam distribusi eksponensial ini digunakan pencarian atau pengolahan data dengan menggunakan variabel random. Dimana variabel random itu sendiri adalah variabel yang berupa nilai atau angka yang merupakan outcome dari eksperimen random. Variabel random bersifat diskrit bila hanya berupa nilai tertentu yang dapat dihitung. Namun variabel random bersifat kontinu bila mana berupa suatu nilai manapun dalam suatu interval.

b.      Karakteristik distribusi eksponensial

Adapun karakeristik distribusi eksponensial sebagai berikut :

1.      Mempunyai nilai variansi

2.      Mempunyai nilai mean

3.      Pencarian pada distribusi eksponensial menggunakan variabel random

4.      Peluang yang terjadi pada suatu percobaan mempengaruhi selisih waktu yang terjadi pda percobaan tersebut

5.      Mempunyai nilai b > 0.

c.       Kegunaan distribusi eksponensial

Distribusi eksponensial berguna dalam mencari selisih waktu yang terjadi dalam suatu peluang pada daerah tertentu. Dalam aplikasinya distribusi eksponensial ini sangat berperan sekali,seperti: untuk mengukur selisih waktu antara orang 1 dan ke-2 dalam suatu antrean. Selanjutnya distribusi ini juga berguna untuk mengukur tingkat kegagalan yang mungkin terjadi dalam suatu peluang. Kemudian distribusi eksponensial juga berguna dalam mencari peubah acak kontinu x, dengan menggunakan variabel random (bilangan acak).

2.     DISTRIBUSI DATA BETA

Distribusi beta digunakan sebagai penaksiran kasar dari suatu missing data distribusi dari suatu proporsi.

Fungsi Padat Peluang

dimana a > 0 dan b > 0
dan fungsi beta adalah

Mean
E(X) = a (b + a)^-1

Varian
Var(X) = ab (a + b + 1)^-1 (b – a)^-2

Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi Karakteristik

 

3.     DISTRIBUSI GAMMA

Distribusi gamma diaplikasikan dalam lamanya waktu untuk menyelesaikan pekerjaan. Distribusi gamma sering diterapkan dalam teori antrian dan teori reabiliti.

Fungsi Padat Peluang

dimana α > 0 dan β > 0

Mean
E(X) = αβ

Varian
Var(X) = αβ²

Fungsi Pembangkit Momen
Mx(t) = (1 – βt)^-α

Fungsi Karakteristik
Cx(t) = (1 – βit)^-α

Fungsi Pembangkit Peluang
Gx(t) = (1 – β ln t)^-α

4.     DISTRIBUSI WEIBULL

Distribusi Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang menyangkut lama waktu (umur) suatu objek yang mampu bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi sebagaimana mestinya (rusak atau mati).

Distribusi Weibull memilik parameter α dan β, dimana α dan β lebih besar dari 0. Bentuk distribusinya adalah sebagai berikut.

Rataan dan varian:

5.     DISTRIBUSI UNIFORM

Salah satu distribusi kontinu paling sederhana dalam semua statistika adalah distribusi uniform kontinu. Distribusi ini dalam dicirikan dengan sebuah fungsi padat peluang yang datar, dan kemudian probabilitas uniform dalam sebuah interval tertutup misalkan [A, B]. walaupun aplikasi dari distribusi uniform kontinyu tidak banyak aplikasi untuk distribusi lain yang dibahas dalam bab ini, tapi sangat tepat untuk pemula untuk memulai pengantar pada distribusi kontinyu dengan distribusi uniform.

Distribusi seragam kontinu adalah distribusi yang peluang setiap peubah acaknya sama.
Fungsi Padat Peluang

dimana a < x < b
a = batas bawah
b = batas atas

Mean
E(X) = (b + a)/2

Varian
Var(X) = (b – a)²/12

Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi Karakteristik

Fungsi Pembangkit Peluang
 

 

DAFTAR PUSTAKA

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution

http://mawan123456789distribusi.blogspot.co.id/

http://www.rumusstatistik.com/2013/07/distribusi-beta.html

http://www.rumusstatistik.com/2013/07/rumus-distribusi-gamma.html

http://www.rumusstatistik.com/2013/07/distribusi-weibull.html

http://teknoindonesia.com/2014/03/distribusi-uniform-kontinyu-seragam/

http://www.rumusstatistik.com/2014/09/distribusi-seragam-kontinu.html